以下各小节是为那些具有量子力学正式的数学描述的一个良好的工作知识的读者而写，包括文章推导中熟悉的形式和理论框架：狄拉克符号(BRA-KET符号)和量子力学的数学表述。本章节涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相关概念，请先阅读条目密度算符。
严格定义
编辑
假设一个复合系统是由两个子系统A、B所组成[注 3]，这两个子系统A、B的希尔伯特空间分别为
H
A
{\displaystyle H_{A}}
、
H
B
{\displaystyle H_{B}}
，则复合系统的希尔伯特空间
H
A
B
{\displaystyle H_{AB}}
为张量积
H
A
B
=
H
A
⊗
H
B
{\displaystyle H_{AB}=H_{A}\otimes H_{B}}
。
设定子系统A、B的量子态分别为
|
α
⟩
A
{\displaystyle |\alpha \rangle _{A}}
、
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\beta \rangle _{B}}
，假若复合系统的量子态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
不能写为张量积
|
α
⟩
A
⊗
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\alpha \rangle _{A}\otimes |\beta \rangle _{B}}
，则称这复合系统为子系统A、B的纠缠系统，两个子系统A、B相互纠缠。
纯态
编辑
假设一个复合系统是由两个不相互作用的子系统A、B所组成，子系统A、B的量子态分别为
|
α
⟩
A
{\displaystyle |\alpha \rangle _{A}}
、
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\beta \rangle _{B}}
，则复合系统的量子态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
为
|
ψ
⟩
A
B
=
|
α
⟩
A
⊗
|
β
⟩
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=|\alpha \rangle _{A}\otimes |\beta \rangle _{B}}
。
这种形式的量子态称为直积态（product state）。量子态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
具有可分性（separability），是“可分态”。对于子系统A做测量，必定不会影响到子系统B；反之亦然。因此，对于这种复合系统，测量任意子系统的可观察量时，不必考虑到另外一个子系统。
假设子系统A、B相互耦合，则复合系统的量子态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
不能用单独一项直积态表示，必须用多项直积态的量子叠加表示。量子态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
不具有可分性，是“纠缠态”。假设
{
|
a
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}}
、
{
|
b
j
⟩
B
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}}
分别为希尔伯特空间
H
A
{\displaystyle H_{A}}
、
H
B
{\displaystyle H_{B}}
的规范正交基。在希尔伯特空间
H
A
⊗
H
B
{\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}
里，这复合系统的量子态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
可以表示为
|
ψ
⟩
A
B
=
∑
i
,
j
c
i
j
|
a
i
⟩
A
⊗
|
b
j
⟩
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|a_{i}\rangle _{A}\otimes |b_{j}\rangle _{B}}
；
其中，
c
i
j
{\displaystyle c_{ij}}
是复系数。
例如，假设
|
0
⟩
A
{\displaystyle |0\rangle _{A}}
、
|
1
⟩
A
{\displaystyle |1\rangle _{A}}
分别为规范正交基
{
|
a
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}}
的基底矢量，
|
0
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{B}}
、
|
1
⟩
B
{\displaystyle |1\rangle _{B}}
分别为规范正交基
{
|
b
j
⟩
B
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}}
的基底矢量。以下形式的量子态是一个纠缠态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
：
|
ψ
⟩
A
B
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
−
|
1
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
)
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}={1 \over {\sqrt {2}}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}{\bigg )}}
。
现在假设爱丽丝、鲍勃分别是子系统A、B的观察者，规范正交基
{
|
a
i
⟩
A
}
{\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}}
的基底矢量
|
0
⟩
A
{\displaystyle |0\rangle _{A}}
、
|
1
⟩
A
{\displaystyle |1\rangle _{A}}
为可观察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的本征态矢量，对应的本征值分别为
0
{\displaystyle 0}
、
1
{\displaystyle 1}
。规范正交基
{
|
b
j
⟩
B
}
{\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}}
的基底矢量
|
0
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{B}}
、
|
1
⟩
B
{\displaystyle |1\rangle _{B}}
为可观察量
O
B
{\displaystyle O_{B}}
的本征态矢量，对应的本征值分别为
0
{\displaystyle 0}
、
1
{\displaystyle 1}
。假设爱丽丝测量可观察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
，则结果可能有两种结果，每一种结果发生的概率相同，都是50%：[26]
爱丽丝测量可观察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的结果为0，量子态坍缩为
|
0
⟩
A
|
1
⟩
B
{\displaystyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}}
，那么，鲍勃在之后测量可观察量
O
B
{\displaystyle O_{B}}
的结果为1。
爱丽丝测量可观察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的结果为1，量子态坍缩为
|
1
⟩
A
|
0
⟩
B
{\displaystyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}}
，那么，鲍勃在之后测量可观察量
O
B
{\displaystyle O_{B}}
的结果为0。
由此可见，爱丽丝对子系统A测量可观察量
O
A
{\displaystyle O_{A}}
这定域动作改变了子系统B，尽管子系统A、B之间可能相隔很长一段距离，这就是两个子系统量子纠缠的现象。更详尽内容，请参阅EPR佯谬。
由于爱丽丝测量得到的结果具有随机性，爱丽丝不知道复合系统会怎样坍缩，她不能够以超光速传递这信息给鲍勃，因此，没有违反因果性（causality）。更详尽内容，请参阅不可通讯定理（no-communication theorem）。
混合态
编辑
混合态是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态
|
ψ
1
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle }
、
|
ψ
2
⟩
{\displaystyle |\psi _{2}\rangle }
、
|
ψ
3
⟩
{\displaystyle |\psi _{3}\rangle }
、……的概率分别为
w
1
{\displaystyle w_{1}}
、
w
2
{\displaystyle w_{2}}
、
w
3
{\displaystyle w_{3}}
、……，则这混合态量子系统的密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
定义为
ρ
=
d
e
f
∑
i
w
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
。
注意到所有概率的总和为1：
∑
i
w
i
=
1
{\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}
。
将先前对于纯态的可分性所做的定义加以延伸，具有可分性的两体混合态，其密度算符可以写为[2]:131-132
ρ
=
∑
i
w
i
ρ
i
,
A
⊗
ρ
i
,
B
{\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i,A}\otimes \rho _{i,B}}
；
其中，
w
i
{\displaystyle w_{i}}
是正实值系数，可以诠释为概率，
ρ
i
,
A
{\displaystyle \rho _{i,A}}
是子系统A的一组密度算符，
ρ
i
,
B
{\displaystyle \rho _{i,B}}
是子系统B的一组密度算符。
假若两体混合态可以以上述方程表示，则这混合态具有可分性，其量子系统遵守贝尔不等式，不被量子纠缠；否则，这混合态具有不可分性，是纠缠态，其量子系统被量子纠缠，但并不一定会违反贝尔不等式[2]:131-132。
一般而言，很不容易辨识任意混合态量子系统到底是否被量子纠缠。一般两体案例已被证明为NP困难[27]。对于
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
与
2
×
3
{\displaystyle 2\times 3}
案例，佩雷斯-霍罗德基判据（Peres-Horodecki criterion）是可分性的充要条件[28]。
怎样做实验制成混合态？试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统，这系统拥有很多个微观态（microstate），伴随每一个微观态都有其发生的概率（玻尔兹曼因子），它们会因热力学涨落（thermal fluctuation）从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序，例如，将光束通过表面粗糙的双折射晶体，使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制，有些放射性衰变会发射两个光子朝着反方向移动离开，这纠缠系统的量子态为
(
|
R
,
L
⟩
+
|
L
,
R
⟩
)
/
2
{\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}}
；其中，
|
R
⟩
{\displaystyle |R\rangle }
、
|
L
⟩
{\displaystyle |L\rangle }
分别为右旋圆偏振态、左旋圆偏振态。整个系统是处于纯态，但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子，从分析光子子系统的约化密度算符，可以得到这结论。
约化密度算符
编辑
约化密度算符的点子最先由保罗·狄拉克于1930年提出[29]。假设由两个子系统A、B所组成的复合系统，其量子态为纯态
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
，其密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
为
ρ
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}
。
这密度算符也是投影算符，能够将复合系统的希尔伯特空间
H
A
B
{\displaystyle H_{AB}}
里的任意量子态
|
ϕ
⟩
{\displaystyle |\phi \rangle }
投影到量子态
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
：
ρ
|
ϕ
⟩
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
ϕ
⟩
{\displaystyle \rho |\phi \rangle =|\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle }
。
取密度算符
ρ
{\displaystyle \rho }
对于子系统B的偏迹数，可以得到子系统A的约化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
：
ρ
A
=
d
e
f
∑
j
⟨
b
j
|
B
(
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
)
|
b
j
⟩
B
=
Tr
B
(
ρ
)
{\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle b_{j}|_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b_{j}\rangle _{B}={\hbox{Tr}}_{B}(\rho )}
。
例如，先前提到的纠缠态
|
ψ
⟩
A
B
=
(
|
0
⟩
A
⊗
|
1
⟩
B
−
|
1
⟩
A
⊗
|
0
⟩
B
)
/
2
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}}
，其子系统A的约化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
为
ρ
A
=
1
2
(
|
0
⟩
A
⟨
0
|
A
+
|
1
⟩
A
⟨
1
|
A
)
{\displaystyle \rho _{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}{\bigg )}}
。
如同预想，这公式演示出，子系统A的约化密度算符
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
为混合态。
冯诺伊曼熵
编辑
在量子统计力学（quantum statistical mechanics）里，冯诺伊曼熵（von Neumann entropy）是经典统计力学关于熵概念的延伸。对于约化密度矩阵为
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
的纠缠态，冯诺伊曼熵的定义为[30]:301
S
1
=
d
e
f
−
∑
i
ω
i
log
ω
i
{\displaystyle S_{1}\ {\stackrel {def}{=}}\ -\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}}
；
其中，
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
是约化密度矩阵
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
的第
i
{\displaystyle i}
个本征态的本征值。[来源请求]从这形式可以推论冯诺伊曼熵与经典信息论里的夏农熵相关[30]。
由于一个被定义在A部分的算符
O
A
{\displaystyle O_{A}}
的期望值
⟨
O
A
⟩
{\displaystyle \langle O_{A}\rangle }
是
⟨
O
A
⟩
=
∑
i
ω
i
⟨
ω
i
|
O
A
|
ω
i
⟩
{\displaystyle \langle O_{A}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle }
可以视每一个本征值
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
为处于本征态
|
ω
i
⟩
{\displaystyle |\omega _{i}\rangle }
的概率。若
O
A
=
1
{\displaystyle O_{A}=1}
是单位矩阵，则可发现所有的概率
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
总和为1。
从定义的数学形式来看，假若探测到第
i
{\displaystyle i}
个本征态的概率为
ω
i
=
0
{\displaystyle \omega _{i}=0}
，则贡献的冯诺伊曼熵为
lim
ω
i
→
0
(
ω
i
log
ω
i
)
=
0
{\displaystyle \lim _{\omega _{i}\to 0}(\omega _{i}\log \omega _{i})=0}
假若
ρ
A
{\displaystyle \rho _{A}}
是一个纯态，则只有其中一个本征态
|
ω
i
⟩
{\displaystyle |\omega _{i}\rangle }
被探测到的概率为
ω
i
=
1
{\displaystyle \omega _{i}=1}
，其他的本征值都是零，所以纯态的冯诺伊曼熵为
1
log
1
=
0
{\displaystyle 1\log 1=0}
因此从数学而言，冯诺伊曼熵的下极限为零。冯诺伊曼熵愈大表示
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
的概率分布愈平均，所以对于一个
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
的约化密度矩阵，
每一个本征态出现的概率都是
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
，冯诺伊曼熵是
S
1
=
−
∑
i
(
1
N
log
1
N
)
=
log
N
{\displaystyle S_{1}=-\sum _{i}\left({\frac {1}{N}}\log {\frac {1}{N}}\right)=\log N}
。
冯诺伊曼熵可以被视为量子系统无序现象的一种度量，纯态的冯诺伊曼熵最小，数值为
0
{\displaystyle 0}
，而完全随机混合态的冯诺伊曼熵最大，数值为
log
N
{\displaystyle \log N}
。
伦伊熵
编辑
伦伊熵（Rényi entropy）以匈牙利数学家伦伊·阿尔弗雷德（英语：Alfréd Rényi）命名，可视为冯诺伊曼熵的一种推广。定义为
S
α
=
1
1
−
α
log
(
∑
i
ω
i
α
)
{\displaystyle S_{\alpha }={\frac {1}{1-\alpha }}\log \left(\sum _{i}\omega _{i}^{\alpha }\right)}
其中，
α
≥
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
是一个实数。当取极限
α
→
1
{\displaystyle \alpha \to 1}
时，伦伊熵就是冯诺伊曼熵。
量子纠缠度量
编辑
对于两体纯态系统，纠缠度量
S
(
ρ
)
{\displaystyle S(\rho )}
（竖轴）与任意本征值
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
（横轴）的关系曲线。当本征值为0.5时，纠缠度量最大，这纯态是最大纠缠态。
量子纠缠与量子系统失序现象、量子信息丧失程度密切相关。量子纠缠越大，则子系统越失序，量子信息丧失越多；反之，量子纠缠越小，子系统越有序，量子信息丧失越少。因此，冯诺伊曼熵可以用来定量地描述量子纠缠，另外，还有其它种度量也可以定量地描述量子纠缠。对于两体复合系统，这些纠缠度量较常遵守的几个规则为[31][2]:129-130
纠缠度量必须映射从密度算符至正实数。
假若整个复合系统不处于纠缠态，则纠缠度量必须为零。
对于纯态复合系统，纠缠度量必需约化为冯诺伊曼熵。
对于命定性的定域运算与经典通讯（local operation and classical communication）变换，纠缠度量不会增加。
对于两体纯态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
，根据施密特分解（Schimidt decomposition）[2]:129-130
S
A
=
S
B
=
−
∑
i
ω
i
log
ω
i
{\displaystyle S_{A}=S_{B}=-\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}}
；
其中，
S
A
{\displaystyle S_{A}}
、
S
B
{\displaystyle S_{B}}
分别为子系统A、B的冯诺伊曼熵，
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
是先前提到的子系统A约化密度算符的几个本征值之一。
所以，整个复合系统的纠缠度量
S
(
ρ
)
{\displaystyle S(\rho )}
可以设定为任意子系统A或B的冯诺伊曼熵：
S
(
ρ
)
=
−
∑
i
ω
i
log
ω
i
{\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\omega _{i}\log \omega _{i}}
；
对于两体纯态
|
ψ
⟩
A
B
{\displaystyle |\psi \rangle _{AB}}
，假若子系统的约化密度矩阵是对角矩阵
ϱ
=
1
N
[
1
0
0
⋯
0
0
1
0
⋯
0
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle \varrho ={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}}}
，
则这两体纯态具有最大可能的纠缠度量
S
(
ρ
)
=
log
N
{\displaystyle S(\rho )=\log N}
，但是它的子系统也完全失序，并且无法预测对于子系统做测量得到的结果，只能预测两个子系统之间的量子关联。
顺带一题，一个
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
的对称矩阵，每个矩阵元皆以乱数决定形成一个随机矩阵，对角化之后得到的
N
{\displaystyle N}
个本征值并不等于
1
/
N
{\displaystyle 1/N}
，而是一个半圆分布，因此随机矩阵的冯诺伊曼熵并不是
log
N
{\displaystyle \log N}
。对于两体纯态，冯诺伊曼熵和伦伊熵都能够量度量子纠缠，因为它能够满足某些量度量子纠缠必须遵守的判据。虽然如此，但是冯诺伊曼熵具有热力学熵的相加性，伦伊熵则没有热力学熵的相加性。
至于混合态，目前量度量子纠缠并没有好的方法。